チェバの定理とは？図解！分かりやすく証明

ちょっとした趣味です（笑）。興味のある方はどうぞ。

チェバの定理とは、「三角形」と「点」の関係性の定理です。

$△ABC$と点$D$があります。

下図のように「$AD$を通る直線」と「$BC$」との交点を$E$、「$BD$を通る直線」と「$AC$」との交点を$F$、「$CD$を通る直線」と「$AB$」との交点を$G$とします。

このとき、${\displaystyle \frac{AG}{BG}\frac{BE}{CE}\frac{CF}{AF}=1}$となります。これがチェバの定理です。
※上の画像は直角三角形ですが、「どんな三角形」でも「どの位置の点（三角形の頂点以外）」でも成り立ちます

では、${\displaystyle \frac{AG}{BG}\frac{BE}{CE}\frac{CF}{AF}=1}$の式が成り立つか証明したいと思います。もし、不明点・質問等ありましたらお気軽にコメントください^^

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証明のざっくりとした流れ

なんとなくでもイメージしやすいように、先にざっくりとした流れを見ておきます。

$△ABC$と点$D$からできる↓この2つの三角形（赤と青）とか、

↓この2つの三角形とか（赤と青）、

↓この2つの三角形（赤と青）とかが、それぞれ相似になっていて、

辺や面積の比をうまく考えると、${\displaystyle \frac{S_{acd}}{S_{bcd}}=\frac{AG}{BG}}$、${\displaystyle \frac{S_{bcd}}{S_{abd}}=\frac{CF}{AF}}$、${\displaystyle \frac{S_{abd}}{S_{acd}}=\frac{BE}{CE}}$となるので、それぞれ掛け合わせると、チェバの定理の完成です。

それでは、詳しく見ていきます。

$△ACD$と$△BCD$から分かること

まずは、$△ACD$と$△BCD$の関係性を調べていきます。

$△ACD$と$△BCD$の面積

$△ACD$（青）と$△BCD$（赤）の面積を考えていきます。
面積を求めるには底辺と高さが必要ですね。それぞれ見ていきましょう。

底辺

$△ACD$と$△BCD$の共通の辺$CD$を底辺と考えます。

高さ

続いて各三角形の高さを考えます。
青い三角形も赤い三角形も同じ方法で高さを求められます。では、どのように求めるか見ていきます。

最初に下図のように$CD$を延長します。

続いて、頂点$A$から$CD$を延長した線に対して垂線を引き、その交点を$H$とすると、青色の三角形の高さが$AH$となります。

同様に、頂点$B$から$CD$を延長した線に対して垂線を引き、その交点を$I$とすると、赤色の三角形の高さが$BI$となります。

これで、青い三角形と赤い三角形に対して、$CD$を底辺としたときの各高さがどれか分かりました。

面積

以上より、$△ACD$の面積を$S_{acd}$、$△BCD$の面積を$S_{bcd}$とすると、各三角形の面積は下記のようになります。

青色の$△ACD$の面積${\displaystyle S_{acd}=\frac{CD\mathrm{・}AH}{2}}$

赤色の$△BCD$の面積は${\displaystyle S_{bcd}=\frac{CD\mathrm{・}BI}{2}}$

実は、今求めた各三角形の高さ$AH$と$BI$と$AG$、$BG$には面白い関係性があります。

高さ$AH$、$BI$と$AG$、$BG$との関係性

高さ$AH$、$BI$と$AG$、$BG$との関係性を調べるために、$△AGH$と$△BGI$の関係性を見ていきます。

$△AGH$と$△BGI$の$\mathrm{\angle }AHG$、$\mathrm{\angle }BIG$はともに${90}^{\circ }$です。どちらも垂線を引いたものなので当たり前ですね。

また、$\mathrm{\angle }AGH$と$\mathrm{\angle }BGI$は対頂角（向かい合う角）なので、等しいです。

よって、$\mathrm{\angle }AHG=\mathrm{\angle }BIG$、$\mathrm{\angle }AGH=\mathrm{\angle }BGI$なので、$△AGH$と$△BGI$は2角が等しい。つまり、$△AGH$と$△BGI$は相似であることが分かりました。

$△AGH$と$△BGI$は相似より、各辺の比は等しい

$△AGH$と$△BGI$は相似より、各辺の比は等しくなります。

つまり、$AH$と$BI$、$AG$と$BG$、残りの$GH$と$GI$がそれぞれ同じ比率になります。

関係性

よって、$AH:BI=AG:BG$となるので、$AH\mathrm{・}BG=BI\mathrm{・}AG$が成り立ちます。従って、高さ$AH$、$BI$と$AG$、$BG$には、${\displaystyle \frac{AH}{BI}=\frac{AG}{BG}}$という関係性があることが分かりました。

$△ADC$と$△BCD$の面積比も同じ

高さ$AH$、$BI$と$AG$、$BG$には、${\displaystyle \frac{AH}{BI}=\frac{AG}{BG}}$という関係性が分かりました。この関係式を変形すると、面積比も分かります。

${\displaystyle \frac{AH}{BI}=\frac{AG}{BG}}$の左辺に${\displaystyle \frac{\frac{CD}{2}}{\frac{CD}{2}}}$を掛けます。※${\displaystyle \frac{\frac{CD}{2}}{\frac{CD}{2}}=1}$なので、掛けても問題ありませんね

（左辺）${\displaystyle =\frac{AH}{BI}\times \frac{\frac{CD}{2}}{\frac{CD}{2}}=\frac{\frac{CD\mathrm{・}AH}{2}}{\frac{CD\mathrm{・}BI}{2}}}$

ここで、下図、青色の三角形と赤色の三角形の面積を思い出してください。

青と赤の三角形の面積は下記の通りでしたよね。

青色の$△ADC$の面積${\displaystyle S_{adc}=\frac{CD\mathrm{・}AH}{2}}$

赤色の$△BCD$の面積は${\displaystyle S_{bcd}=\frac{CD\mathrm{・}BI}{2}}$

これは、先ほどの左辺の分母と分子がそれぞれの面積になっています。

（左辺）${\displaystyle =\frac{\frac{CD\mathrm{・}AH}{2}}{\frac{CD\mathrm{・}BI}{2}}}$

よって、

（左辺）${\displaystyle =\frac{\frac{CD\mathrm{・}AH}{2}}{\frac{CD\mathrm{・}BI}{2}}=\frac{S_{adc}}{S_{bcd}}}$

少しまとめます

少しややこしくなってきましたので、少しまとめます。

まず、相似関係より${\displaystyle \frac{AH}{BI}=\frac{AG}{BG}}$が分かりました。ここから先ほどまでの計算の流れを式にしますね。

${\displaystyle \frac{AH}{BI}=\frac{AH}{BI}\times \frac{\frac{CD}{2}}{\frac{CD}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{\frac{CD\mathrm{・}AH}{2}}{\frac{CD\mathrm{・}BI}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{S_{adc}}{S_{bcd}}}$

${\displaystyle =\frac{AG}{BG}}$

つまり、${\displaystyle \frac{AH}{BI}=\frac{S_{adc}}{S_{bcd}}=\frac{AG}{BG}}$

青と赤の三角形の面積と$AG$、$BG$との関係性${\displaystyle \frac{S_{adc}}{S_{bcd}}=\frac{AG}{BG}}$が分かりました。

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$△BCD$と$△ABD$から分かること

「$△ADC$と$△BCD$から分かること」と全く同じ手順を行うことで、

青と赤の三角形の面積と$AF$、$CF$との関係性${\displaystyle \frac{S_{bcd}}{S_{abd}}=\frac{CF}{AF}}$が分かりました。
※同じ手順ですが、詳細を書いてほしい場合は、コメントくださいね

$△ABD$と$△ACD$から分かること

「$△ACD$と$△BCD$から分かること」と全く同じ手順を行うことで、

青と赤の三角形の面積と$AF$、$CF$との関係性${\displaystyle \frac{S_{abd}}{S_{acd}}=\frac{BE}{CE}}$が分かりました。
※同じ手順ですが、詳細を書いてほしい場合は、コメントくださいね

$△ACD$と$△BCD$と$△ABD$より

以上より、下記3つの式を得ました。

${\displaystyle \frac{S_{acd}}{S_{bcd}}=\frac{AG}{BG}}$・・・( i )

${\displaystyle \frac{S_{bcd}}{S_{abd}}=\frac{CF}{AF}}$・・・( ii )

${\displaystyle \frac{S_{abd}}{S_{acd}}=\frac{BE}{CE}}$・・・( iii )

( i ) と ( ii )の各辺を掛けます。

${\displaystyle \frac{S_{acd}}{S_{bcd}}\mathrm{・}\frac{S_{bcd}}{S_{abd}}=\frac{AG}{BG}\mathrm{・}\frac{CF}{AF}}$

${\displaystyle \frac{S_{acd}}{S_{abd}}=\frac{AG}{BG}\mathrm{・}\frac{CF}{AF}}$・・・ ( iv )

( iv ) と ( iii ) の各辺を掛けます。

${\displaystyle \frac{S_{acd}}{S_{abd}}\mathrm{・}\frac{S_{abd}}{S_{acd}}=\frac{AG}{BG}\mathrm{・}\frac{CF}{AF}\mathrm{・}\frac{BE}{CE}}$

${\displaystyle 1=\frac{AG}{BG}\mathrm{・}\frac{CF}{AF}\mathrm{・}\frac{BE}{CE}}$

以上で証明終了です。

参考（入れ替えなど不要です）

${\displaystyle 1=\frac{AG}{BG}\mathrm{・}\frac{CF}{AF}\mathrm{・}\frac{BE}{CE}}$を最初に定理を紹介した、下記に合わせておきます。

${\displaystyle \frac{AG}{BG}\frac{BE}{CE}\frac{CF}{AF}=1}$

${\displaystyle 1=\frac{AG}{BG}\mathrm{・}\frac{CF}{AF}\mathrm{・}\frac{BE}{CE}}$

両辺入れ替えます。

${\displaystyle \frac{AG}{BG}\mathrm{・}\frac{CF}{AF}\mathrm{・}\frac{BE}{CE}=1}$

${\displaystyle \frac{CF}{AF}}$と${\displaystyle \frac{BE}{CE}}$を入れ替えます。

${\displaystyle \frac{AG}{BG}\mathrm{・}\frac{BE}{CE}\mathrm{・}\frac{CF}{AF}=1}$

拡張

外部に点がある場合も別途証明してみました。興味のある方はこちら→「【チェバの定理の拡張】外部に点がある場合を証明する」をご覧ください。

まとめ

三角形と点によって引かれた線によってできた3つの三角形の面積をうまく使うことで、チェバの定理を証明することができました。

ちなみに直角三角形が作図しやすかったので、そちらを例に進めましたが、どのような三角形でも同じ手順で同じ結果が得られると思います。

もし、試してほしい形の三角形があれば、コメントください。検証してみます。

それでは、最後までお読みいただきありがとうございました！

キーワード

気になる人はGoogle検索で調べてみてね。

チェバの定理、三角形、相似、対頂角

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