#001:数学で使う記号
棒先生棒先生

小中高では数学・算数と様々な記号が出てきたと思います。例えば、「+」「-」「×」「÷」や「=」「≧」「≦」などなど多くの記号を目にしてきました。

では、大学に入った後に見かける記号に馴染みはありますかね?

棒也くん棒也くん

はい!あまり無いと思います!

棒先生棒先生

棒也くん、ありがとうございます。
それでは、大学に入ってから出てくる記号や小中高でも出てきた記号をいくつかチェックしておきましょう。

注意点

出来る範囲で調べていますが、学術的に本当に正しいかどうかは保証できません…ご了承くださいm(__)m
学生の方であれば、疑問に思ったところなどは教授・助教授、その他周りの方に確認してくださいね。

∈(属する)

棒先生棒先生

まずは「」という記号です。

棒也くん棒也くん

「フォーク」の先みたいですね。

棒先生棒先生

そうですね(微笑)。
この「」は属するという意味で、例えば「A」という何かの集合があって「x∈A」と書かれていたとします。このとき「xという要素(元)はAに属する」ことを表しています。

棒也くん棒也くん

属する…
ということは、もし僕が「ラック」という会社の社員であれば「棒也∈ラック」ということですか??

棒先生棒先生

棒也くん。
良いですね。その理解で大きな問題はありません。

少し数学に寄せた例を挙げると、自然数全体を集合$\mathbb{N}$とします。すると、「1∈$\mathbb{N}$」「10∈$\mathbb{N}$」と書くことができます。

棒也くん棒也くん

「1」も「10」も自然数だからそのように書くことができるんですね。

棒先生棒先生

そう、その通りです。
また、「1や10は自然数に含まれる」とも言います。「含む」というワードの方が聞き馴染みがありますかね?

棒也くん棒也くん

そうですね…たしかに「ビタミンCを多く含む」とかよく耳にします。
でも、「サッカー部に所属しています」とかも使ったりするので、どちらでも何となく意味はつかめる気がします!

棒先生棒先生

なるほどですね。
では、イメージしやすい方で思い出してみてくださいね。

棒也くん棒也くん

はい!

ところで棒先生…「要素(元)」の「」ってなんですか?

棒先生棒先生

そうですね。「元」について説明していませんでしたね。
次は「元」について少し見てみましょうか。

棒先生棒先生

先ほど棒也くんから、質問があった「元」について説明しますね。
「A」という何かの集合があったとき、この集合Aを構成するための個々の要素が「」です。

棒也くん棒也くん


んー…

棒先生棒先生

すみません、具体例を見た方がイメージしやすいかもしれませんね。

では、先ほどもあげましたが自然数全体の集合を例に見てみましょう。
自然数は「1」「2」「3」・・・という数字が集まった集合です。この個々の「1」や「2」などが「元」になります。

棒也くん棒也くん

ありがとうございます。
何となく…分かったような気がします。

化学とかででてくる「素」みたいなイメージですかね?
たしか「元素」は物質を分けて分けて、もうこれ以上分けれない!というもので、なんとなく似ているなーと。

棒先生棒先生

そうですね。非常に似ていますね。
そのイメージで問題ありません。

棒也くん棒也くん

ありがとうございます!
僕がラックという会社の1社員であれば、僕が「元」ということは、なんとなく分かりました。

…ただ1つ気になったことがあります…

棒先生棒先生

どのようなことが気になりましたか?

棒也くん棒也くん

えーっと、例えば「20代の社員全員」とかだと、「元」にはならないのかなー?と思いまして。

棒先生棒先生

なるほど。棒也くん、質問ありがとうございます。
では、次はそれについて見ていきましょうか。

あっ、それと今みたいに気になることは気兼ねなく何でも聞いてくださいね。

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集合の書き方

棒先生棒先生

すみません、棒也くん。先ほどの質問の前に少し「集合の書き方」についてお話させてください。

棒也くん棒也くん

はい!全然問題ないです!
よろしくお願いします。

棒先生棒先生

ありがとうございます。

それでは、先ほどから何度か話にあがっている自然数の集合を例に見てみましょう。
自然数全体の集合$\mathbb{N}$は$\mathbb{N}$={1, 2, 3, 4, …}と書きます。中括弧の中にカンマ区切りで元を書きます。

棒也くん棒也くん

先生。4の後ろが「…」となっているのは自然数は無限に続くからですか??

棒先生棒先生

棒也くん、その通りです。

棒也くん棒也くん

じゃあ、先生。1~10等のくじが入ったくじ引きの箱を集合と見れば、{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}ということですね?

棒先生棒先生

飲み込みが早いですね。その通りです。

ちなみに、1つしか元がない{1}のような集合もありますし、元を持たない{}と空集合というものもあります。

棒也くん棒也くん

へ~、そうなんですね。
たしかに、「世界に一つだけの花」という集合があれば、元は1つですもんね。

棒先生棒先生

それは面白いですね。たしかにそうなりますね。

空集合は公理的集合論に触れる際に改めてご紹介しますね。元を持たない集合は1つしか存在しないことも証明したいと思いますので、楽しみにしておいてください。

棒也くん棒也くん

はい!分かりました。

棒先生棒先生

これで集合の書き方についてはお終いです。お付き合いいただきありがとうございます。
それでは、話を戻しましょう。

部分集合

棒先生棒先生

例えば「20代の社員全員」とかだと、「元」にはならないのか?」という質問でしたね。
結論から言いますと、これは部分集合と言います。

棒也くん棒也くん

「社員全体の集合」の中の「一部分の集合」だから部分集合ということですか?

棒先生棒先生

はい、その通りです。相変わらず察しが良いですね。

今後、部分集合に関する定義も見ていきたいと思いますが、定義を書くにしても記号が必要になりますので、一通り記号のお話をできればと思います。
ですので、現時点では今の理解で問題ありません。

棒也くん棒也くん

はい!分かりました!

棒先生棒先生

ありがとうございます。

もう少しだけお話しておくと、先ほどの「集合」の話で出てきた{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}や{1}、空集合{}も全て自然数全体の集合」の部分集合になります。ちなみに、空集合{}はすべての集合に対して部分集合となりますよ
今後、「空集合{}はすべての集合に対して部分集合」についても証明できればと思います。

棒也くん棒也くん

なるほどですね。たしかに考えてみればそうですね!
それにしても、空集合はとても特別な存在なんですね。

棒先生棒先生

そうですね。

おっと、少し長くなってきましたので、他の記号については次にしましょう。
棒也くん、お疲れさまでした。お付き合いいただき、ありがとうございます。

棒也くん棒也くん

とんでもないです!こちらこそありがとうございます!
それでは、次回もよろしくお願いします!

まとめ

棒先生棒先生

今回の話を少しまとめておきます。

  • 集合Aに対して「x∈A」とはxという要素(元)はAに属するという意味
  • 集合Aを構成するための個々の要素が「
    ※自然数であれば「1」や「2」など
  • 集合は{1, 2, 3, 4, …}、{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}、{1}、{}というように書く
  • {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}や{1}、空集合{}も全て「自然数全体の集合」の部分集合
  • 空集合{}はすべての集合に対して部分集合

注意点

出来る範囲で調べていますが、学術的に本当に正しいかどうかは保証できません…ご了承くださいm(__)m
学生の方であれば、疑問に思ったところなどは教授・助教授、その他周りの方に確認してくださいね。

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