f(x)=xの微分

f(x)=x を微分したいと思います。

それでは、$f(x)=x$ を微分します。

まず、微分の定義より、

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

では、棒也くん。
次に、f(x)=x より、どのようになるか分かりますか？

その通りです。では、引き続き計算もしてくれますか？

（うなずき）

はい。それで正解です。
棒也くん、ありがとうございました。

計算してくれた通り、$f(x)=x$ を微分すると「$1$」になります。

微分と積分には$f(x)=\int g(x)dx$のとき$f^{\prime }(x)=g(x)$をいう関係があります。
まだ、証明していませんが、いったん使えるものとさせてくださいね。

すると、今回の微分の結果から、下記が成立することが言えます。

$\int 1dx=x+C (C\mathrm{は}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{定}\mathrm{数}）$

説明していませんでしたね。詳しくはまた違う機会に説明しますが…

そうですね。まず$f(x)=C （C\mathrm{は}\mathrm{定}\mathrm{数}）$のとき、$f(x)$を微分すると$f^{\prime }(x)=0$になるんです。

では、棒也くん。実際に$f(x)=C （C\mathrm{は}\mathrm{定}\mathrm{数}）$を微分の定義にあてはめてみてください。

そのとおりです。

では、次に$f(x)=x+C （C\mathrm{は}\mathrm{定}\mathrm{数}）$のときも微分してみてください。

そうなんです。ｘに依存しない定数部分は必ず$f(x+h)-f(x)$で消えます。

念のため、棒也くんの計算を進めると

$={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{h}{h}}$

となりますので、$f(x)=x$と同じ形になりましたね。

つまり、$f(x)=x+C$も微分すると「1」となります。

はい、そうなりますね。

ちなみに、「定数」は英語で「constant」なので、その頭文字をとって「C」を使っています。ですが、積分定数Aと明記すれば「A」など「C」以外でも問題ありません。

それでは、少し長くなってしまいましたが、今回は以上となります。

今回のように微分をしたタイミングで微分の解を覚えておくと、積分を解くときに役に立ちそうですね。今後も微分を解いた際は不定積分の形でも表記するようにしますね。

それでは、棒也くん、お付き合いいただき、ありがとうございました。

今回の話を少しまとめておきます。

• $f(x)=x\mathrm{の}\mathrm{と}\mathrm{き}、$f'(x)=1$となる
• 微分と積分には$f(x)=\int g(x)dx$のとき$f^{\prime }(x)=g(x)$をいう関係がある
• $\int 1dx=x+C (C\mathrm{は}\mathrm{積}\mathrm{分}\mathrm{定}\mathrm{数}）$
• 不定積分の解には「＋C」を忘れないようにしよう（特に学生さん）